８／３１(金)
エントロピー生成最小原理には、非平衡熱力学においてfluxをきめるものと (線形)非平衡統計において定常分布をきめるものがある。前者については、 位置付けをみきっている(つもりだ)が、後者については未消化のままだった。 非平衡測度をきめる原理として「本物」ならSSTの出番などない。実は、線形 非平衡ではよさそうだ、という示唆はあちこちにある一方、どうも一般 にはだめそうだ、、というコメントもある。どういう理屈なのか、ここいら で納得しないといけない。
昨夜、布団にはいってから、輪郭はわかってきた。今日、仕事の合間にtex 書きをはじめたので近日中にはまとまるだろう。
SSTは、...ああ苦しい。 平衡と非平衡をつないで、平衡も非平衡も同じように みたい、、のだが、そこのつなぎかたの知見を獲得しないといけない。現象論 で「つなぐ」のとモデルを具体的につなぐのはちがう。そこに本質的なことが 絡んでくるから、頭がぐらぐらする。あと考えないといけない点は幾つあるの だっけ。。。
８／３０(木)
相対エントロピーのノートを簡潔なものに書き直す。(平衡からはかった)エント ロピー生成最小原理で測度をきめる話しの整理をはじめるが、全体像をつかむ前に 時間ぎれで病院へ。
「しこり」が目の下にできただけで、痛くはないが、疲れてくると結構腫れるの で一応病院にいった。さん粒種。５年前の今ごろ「麦粒種」になって、そのとき は２回ほど孔をあけて膿をだしたのだが。今度は、切開しなければ、すぐに治る ようなものではないらしい。
８／２９(水)
定常熱伝導状態に対応するボルツマン方程式の摂動解に関するノートを書いて関 係者におくる。論理的に明確なノートだが、高次の計算などの一般的なこととSST との相性を考えていたら、何やら変なきがする。熱流 (＝エネルギーflux), flux of flux, flux of (flux of flux),,, などをSSTの状態変数に加えないと、ボルツ マンの高次摂動解に対応できないような気がする。階層化されているなぁ、、と 渕上君は喜んでくれるかもしれないが、それは嬉しくない。
ボルツマンはやっぱりJ^2のオーダーは物理的にだめかもしれない。(解は計算で きるが、方程式がちがう気がする。) どうもこのあたりがしっくりしないまま、 ぐるぐるまわっている。
SSTベースのモデル化...というのも別の路線としてあって、田崎さんがすすんでい るみたいだ。僕は、consistency でわからんようになったまま。(寝るまえに 考えよう。)
８／２８(火)
大学院入試がはじまると夏休みがおわった気分になる。実際、いろいろな用事が はじまっている。しまった！ 仕事をひとつ忘れていた。あと、mail の返事をい くつか忘れているような気がする。
仕事の合間と電車の中で、ボルツマン方程式の定常熱伝導解をもとめる。熱流J、熱 流方向の圧力pをgiven として、摂動展開で解をJの２次までで求める。閉じた公式 はだせたであろう。期待したとおり、任意定数をひとつだけ含む解になる。 (ここから、固有関数展開して、具体的な表現を得るのは死ね程大変。)
分布の形から、平衡状態ではこの任意定数を温度と関係させることができるが、 非平衡定常状態では「定数」としかわからない。物理的には、温度と対応するはず だから、温度の作業仮説がいることになる。(ここは「物理」だから、非自明で 試行錯誤がいる。)
金＝早川がやってくれると思っていたが、、、(早川の日記参照)。
８／２７(月)
田崎さんとのSST論文を無事に投稿する。
右肩があがらない。右目が腫れているらしい。ので、今日も早くねよう。
８／２６(日)
まぶたが二重になっているらしい。夜中にうなされて、「こうなるはずだ！」 と絶叫しているらしい。というので、今日は休憩。 こんなの を書いたくらい。
８／２５(土)
相関関数の摂動計算を１３年ぶりくらいに試みようとする。相互作用の影響の仕方 などの感じがわからないので、簡単な例題で練習する。
SSTと整合した「統計力学モデル」...というのは、頭の中をぐるぐるまわっている。 わかりそうな気分には何度もなるけど、具体的なことをやろうとするとこける。 今のところ、ほとんどやらせ的に仮定したモデルか、SSTを前提にしたモデル以外に、 SSTと整合したモデルはない。SSTが如何に強い制限であるか、、というのをこの２ヵ月 近くたっぷり味わってきた。
希薄気体熱伝導の場合でも、粒子補正、圧力補正、温度補正に a,b,cという無次元 定数があらわれるのだけども、SSTは a=2b+c という強烈な条件を課す。金＝早川の ボルツマン方程式の計算では、c=0 と仮定して、a=2 bが成り立たないことまで到達し たらしいので、c=0 を仮定せずに、「非平衡状態での温度とは何か」という悩ましい 問題に作業仮説をたてて、c の値を計算したら面白いと思う。僕らの作業仮説は伝え たけど、計算してくれるのだろうか。もし、物理的にもっともらしい仮説で計算され た c の値をつかって、a=2b+c が成り立ったら、臨界現象のスケーリング則をはじ めて見るくらいのインパクトはあるだろう。
driven lattice gas でも同種の非自明な関係式があって、これは林さんが孤軍 奮闘で頑張っているが、来週あたり「でました」といってくるような気がした が、、、。
８／２４(金)
田崎さんとのSST論文をweb submissionしようよ思ったらサーバーがダウンして いたので作業できず。preprintは既に公開になったというのに。
というので、クヌーセン公式の現象論的理解を整理しようとしたが１時間で決 着せず、明日以降にもちこし。(ちょっと思っていたことと違っていたので、 考えないといけない。)
途中、寺田君が多粒子系でのリアプノフ解析とボルツマンエントロピーの関係の検証 計画の経過報告にきてくれる。計算時間の都合で、検証できそうな系を探さないとい けないのが、余分な手間だが、なんとなく絞られつつあるみたいで、熱力学極限で、 I=\Delta S の直接証拠が示せそうなのは嬉しい。理論的にも、何か進展の気配が あるし。
その後で、和田君と高分子メルトのずりによる形態変化や臨界点移動の議論。 本当かどうかわからないSSTを使って、こういう現象に切り込んでいる、という のは勇気ある選択であるが、SSTをみとめると自然で簡単な解析ができるのは 間違いない。こんな解析を考えていると、SSTがないのはおかしい、、という 気がしてくる。(ちなみに、和田君はSSTをやりたいからこういう対象を選んだの ではない。ずり＋高分子をやりたくて、現象を整理していたら、、、そりゃ もうSSTの餌食でしょう。。。とSST側にひっぱってしまった。) しかし、 実験結果をどの程度/どのように説明できるかは、、あと少し時間が必要。
寝る前に、「局所定常温度」を説明するノートを書く。金＝早川の解析では、 「局所平衡温度」のままなのが、いまのところ、もっとも気になるところ。 (他にもより小さな論点はあるが。) ここをかえて、SST等式と一致しなけば、 問題のひとつになる。僕は、温度勾配の２乗の寄与は、ボルツマンでもやば い、と思っているけど、田崎さんは、ボルツマンは格別だと思っているらし い。逆に、奇跡的な算数の組み合わせでSST等式がでてくりゃ、１００％の 信頼を得た、といってもいいだろう。(SSTもボルツマンも。) いずれにせよ、 あの複雑な係数が計算間違いでない確率はいくつくらいだ？
ぼく自身のSST検証計画は、宙に浮いたまま。いかんな。とりあえず、昨日かいた ノートは、印刷すると、添字がちらちらして読みにくいから、考えないと。
８／２３(木)
数理物理'01や集中講義の「技術編」の準備としての基本事項の確認と相対エント ロピーがらみの知見を整理しよう、というつもりだったが、しばらく不等式関連 の算数をやってなかったので、思うように手と頭が動いてくれなかった。
マルコフ確率過程において相対エントロピー経由で(一般化された)第２法則を 書き下し、左辺と右辺の差を示唆的なものに書く、という午前中にできるだろう、 と思っていたことはその日のうちにできたから、まぁよしとするか。
８／２２(水)
相対エントロピーの初歩的な勉強をすると、緩和過程で(自然に)そしかされたエント ロピーの増分を軌道情報で書き下せそうではないか。(数学的に精密な詰めはして ない。) 開放定常系でのGaspard-Nicolisの輸送係数の公式ででてきた「エントロ ピー生成率」を積分したような量(＝ 正リアプノフ数の和からKSエント ロピーを引き算したものの時間積分) がそしかされたエントロピーの変化量 になる。これも、無限 ひく 無限。 ただし、ここのKSエントロピーは リアプノフ解析から求まるものでないので、まともな系での数値的な検証は ほぼ不可能。
ついでに、Sasa-Komatsu/Sasa の予想に迫れるのでないか、、、と思ったが、どうも まだギャップがある。僕等は完全に軌道のまわりの線形情報だけで、(自然に)そしか されたエントロピーの増分を議論できる、、とおもっているのだが、、、相対エント ロピー経由の綺麗な式をみた後では、変にも思える。相対エントロピーの議論を しっていたら、この式を書き下しておしまいにして、それ以上の追求をしなかった だろうな。だけど、数値的な証拠はだんだんとつみあがっているから、とんちん かんでもないはずだが。それに....
８／２１(火)
D-q Jian, M. Qian, M-p, Qian, Entropy production and information gain in Axiom-A systems, CMP 214 389 (2000): GallavottiらのAnosov系でのエントロピー 生成率をlarge deviation 経由で相対エントロピーと関係づける。FTのみに焦点を あてたMaesの議論より、力学系と確率の関係がわかる気がするので、ざーと目を とおし、参考文献をいくつか複写する。Hatano-Sasa 論文ののsecond law (= 算数 的には、Cover-Thomas p.64) を力学系の言葉で書けば、Sasa-Komatsu 論文になる はずなんだが、「率」の議論ではないので、Large deviationを経由せずに、相対 エントロピーを表現しないといけないところが、こういう既存の論文と頭で思い 描いているところのギャップになっている。。。と、うなっていたら、相対エント ロピーのvariational expression というのがあるのか。これは、示唆的な表現 だな。どういう意味があるのだろう？ 証明は.... すぐにはわからん。 Donsker-Varadhan論文は図書にないのでみたことがなかったが、近日中に複写依頼 をだそう。
ばね分子ずり系で、海の上で腹をくくったように、もうやらせでも何でもいいから、 SSTと整合するモデルをでっちあげようと手を動かすが、、簡単にやらせができるほ ど甘くないことだけがわかった。
８／２０(月)
２０時間も船にのっていると、船を降りて数時間たった今も「揺れ」を感じる。 この記憶はどのレベルの記憶なんだろうか？定量的な実験結果はどこかにあると 思うけど、どうなんだろう。
８／１９(日)
船。台風の影響で大いに揺れる。歩くどころかたつのも困難なので寝る。ものすごく 高い「つったち」が「すー」と水面を走っているのが窓からみえたが、あれはソリト ンか？ ときどき強く感じる衝撃は、あんなのが船にあたっているのか。小さい船な らいっぱつで持っていかれるぞ。強風圏内からは、ぎりぎりで逃げているはずなの に、すごいな。
８／１８(土)
バトミントンをして、非平衡構造転移のモデルを考える。ずり方向にスライスして、 非平衡オーダーパラメータΨを導入して、平衡のオーダーパラメータとミニマムに 結合させれば、実験結果と定性的な相性はいいような気はするが、(頭の中で)式を 書こうとすると、うーむ。統計力学的には、部分的に磁場を感じるq-ポッツモデル みたいなものかな。うーむ。self-consistent closure 一派との関係はどうなって いるのか、うーむ。
８／１７(金)
温泉に浸かって、「Zubarev-MacLenannの弱点を一言でいうと？」という宿題を 考える。算数的には積分の収束、物理的には平衡現象論に頼っているところ、、、 あたりだが、どうも全体の風景がみえない。完全な間違いではない、、、のも 事実だし。
８／１６(木)
海に浮かんで、腹をくくりはじめる。ばね分子ずり系は、SST 等式 --> 物理条件の 矢印を示すのが精いっぱいで(＝ 逆を示すことのとっかかりがないこともないが、 相当に難しい) 、この矢印でも(今の段階では)極めて非自明に思えるから、示せ たら意義がある。。。技術的なことを頭の中で整理しようとするも、(既に計算し てある)初歩的なことすら再構成できない。ノートは東京だから、帰ってからかな。
８／１５(水)
花火をみて、Gacsのボツルマンエントロピーとランダムネスに関する論文を読む。 ううーん、違うんですよ、Gacsさん。どうするかっていうと、、ううーん、 頭がまわらん。
８／１４(火)
新幹線の中で、長い論文を最初から読みはじめるも、山場に到達する前に嫌になり、 Lambalgen３部作の第２部にかえる。第一部をセミナーでやったので、第２部の気持 が前よりもよくわかる。
８／１３(月)
明日から８／２１まで消えるので、Summer school 数理物理'01 の予稿は今日〒で送るしか ない。細かい手入れは不十分だけど、〆切なのでうちきる。
林さんの格子気体モデルの格闘が軌道にのりはじめている。高温での地道な基本データ がとれつつあるし、臨界点近傍のラフな感じもみえてきたようだ。まずは高温領域で のSST等式の検証(反証)だが、実験で簡単に測定できるように、white board上で等式 を変形していたら、なかなか美しい関係式に到達した。ほう。非平衡下の圧縮率と 平衡の圧縮率の比が、FIOのデータからきまるのか。こりゃいい。
SSTの枠組はしっかりしてきたが、「本当にその理論体系が自然にあるかどうか」 はまだ誰もしらない。理論的でも、数値的でも、実験的でも、なんでもいいから 証拠が欲しい。林さんに先越されたくないし、僕も頑張らないと...。
うむ？ 圧縮率は臨界点で発散して、臨界点シフトは見えているから、臨界点近傍 でFIOを考えると、、、なかなかにカラフルだな。５月の中旬に平衡からの展開で FIOを議論したが、違う攻め方があるような気がしてきた。
が、明日からの旅行では、SSTがらみは何ももっていかないし、基本的には休養。 まぁ、Lieb-Yngvasonとランダムネス関連の論文たちのファイルをひとつもって いって、関わりをちょっと考えてみたり、１００ページを越える論文の(informal) previewをひきうけたのでそれを読んだり...はするけど。
８／１２(日)
今日中に第一稿ができていないとやばいので、朝飯も抜いて予稿に向かう。脚注を つけるだけの作業だが、ひとつの注釈に１時間以上悩んだり、文献を読んで考え直 したりしていると、あっというまに時間が過ぎてしまった。なんとか日付変更線 あたりで第一稿ができた。式はひとつもないのに、分量は40kbyteを越えた。
８／１１(土)
朝おきてすぐに思った。圧力の非平衡度依存性は非解析的だよな。だから、... ふむ、面白そうだな、と思ったが、後まわしにして、ひたすら Summer school 数理物理'01 の予稿を書く。 (後回しにしたのを忘れないようにここに書いておく。)
研究の背景説明がやっと終ったので、自分の研究内容の説明する手前で、強引に やめる。これから脚注をつけまくって、第一稿完成になるぞ、、、と思いきや、 脚注の最初の方で考え込む。「等重率の原理」を気持まで踏み込んで色々と 表現していたら、von Misesとそっくりになって笑ってしまった。 01列 --> ミクロな状態； ランダム列 --> 平衡状態、という対応があるよう に思う。表面的なのかな。お蔭で、布団に はいってから、Lieb-Yngvasonの公理とLambalgenの公理の対応関係を考え はじめてしまって、ちっとも寝れなくなってしまった。やばい。
８／１０(金)
Summer school 数理物理'01 の予稿を書く。今日は、力学系と熱力学の関係 の部分。背景を延々と書いていたら時間がすぎた。やばい、この調子だと 来週に予定していた京都行きはふたたび延期かな。
８／９(木)
Summer school 数理物理'01 の予稿を書く。今日は、SSTの部分だが、 (もうすぐ公になる)論文に書いていない部分と格闘していたら、時間が過ぎて しまった。とくに、ミクロとの関係は宿題だらけなので、予稿に書くことでは なく、自分自身の課題の整理をしている感じである。
予稿のページ数は少ないが、非平衡統計力学の諸相において、対象／記述／原理／結果 などの項目を並べた一覧表(約２ページ)は、他にないだろうし、貴重かもしれない。技 術的なことはさておき、非平衡統計力学の全貌を掴むにはよいだろう。それ以外 は、「はじめに」と「研究の要約」なので、目新しいものはない。
田崎さんとのSST論文は、お盆明けて今月中には投稿になるだろう。論理的に美しく 完結しているのに、非自明な部分が残り、実験の定量的検証を待つのみ、という論 文は、はじめてのことだ。日記によると、昨年12/19(火)に冬休みの１ヵ月課題とし て気楽に計画したものだった。勿論、冬休みと今では見え方は全く違う。最初は、 実験を調べつつ、形式をいじくって、ふーむ、といっていただけだもんな。この間 の僕にとっての山場は、FIOが正しくみえはじめてきた 5/4(金)の飛行機の中かな。
でもまだ感動するほどではない。ミクロとの関係が見えそうで見えなくて、スパっと しないのがよろしくないのだろう。
８／８(水)
ばたばたしていたので、実質的には、休養日。妻子は船で徳島へ。
８／７(火)
高分子融液のずりによる構造相転移：SST熱力学関数があるとして、現象をしばれる 部分を整理したい。SST的なモデル化による攻撃もなんとかなる気がする。(先行理論 研究の方針はだいたいわかったつもり。)
希薄気体熱伝導のSSTに矛盾しない速度分布の構成：単純なミスをしていたが、ミス の除きかたがスムーズにいかない。(何か釈然としないので、根本的な勘違いしてい るかもしれない。)
ばね分子ずり系：素朴なモデルは、SSTとの整合性以前に、物理的な条件と矛盾して いるのだから、そこをとっかかりにして考えよう。それが自然に解消されたとき、自 動的にSSTが成立するようになればよい。
８／６(月)
Summer school 数理物理'01 の予稿を書く。結局、昨日までの文章 は(予稿としては)全て没にし、構成を最初からやりなおした。セミナー本番 では(おそらく)説明しない非平衡統計の背景の部分を箇条書きで書くことに した。(これを全部書いていたら、とてもあと数日で終らない。 それにま だ ？がいくつかある。昨日の問題も未解決。) 「はじめに」もやっと書いた。 主要部分をどう書くのかは明日考える。
昨年の数理物理セミナーでは、英文で５０ページを越える要旨がいくつか並ん でいるが、僕はどう頑張っても日本語で数ページだな。
８／５(日)
箱の中に気体が閉じ込められている。 動くことのできる仕切り板を適当な位置に挿入 すると、仕切り板の両側の圧力が等しくなるところで仕切り板は静止する。 圧力は、 箱のおかれている環境(断熱か等温か)に関係ないので、仕切り板の最終の位置は、 環境に依らずにきまる。(余談：仕事 -->圧力 という論理にたつなら、この証明 には、第２法則が必要。)
ここで、仕切り板の位置の「揺らぎ」をみる。仕切り板の位置の分散をみると、箱の おかれた環境に応じて、その大きさが異なってくるはず。(こういう類の実験の検証 はあるのだろうか？ )
仰仰しくいうなら、(熱力学では見えなかった)アンサンブルの違いが、揺らぎでは 見えてくることになる。すると、当然、緩和の動力学も環境に依存する。なのに、 初期アンサンブルをカノニカルにとる限り、時間発展にLiouvilleをつかっても、 確率過程をつかっても、形式的には、どちらからもGreen-Kuboがでてくるのは 不思議なことだ。
さらに、Zubarevの非平衡測度は、徹底して、Liouvilleとのconsistencyを追求して 求められたもので、それが確率過程の結果とも一致する、、というのは、もっと わけがわからない。
僕は、Liouvilleを使ったアプローチは理解できなかったので、今まで捨ててきた。 が、この機会に、うまくいく理由を見極めたいな。(こうしていると、ノートの 分量は、ちっとも増えていかない。)
８／４(土)
SSTには、FIOの浸透圧と密度差の間に関係式(＝等式)という定量的な予言がある。 これは、実際の実験でも、数値実験でも、摂動計算でも、もっとも簡単に検証できる はずである。金君が希薄気体でやっている計算との比較のために、その予言を 説明するノートを書く。
ついでに、希薄気体熱伝導でSSTと矛盾しない定常分布の例をつくっておこうと はじめると...うまくできない。(温度勾配の２次まで辻褄のあった分布はできた つもりだが、そんな制限なしに決まって欲しいんだが。。)結局、ほぼ一日つぶし てしまって未完。
８／３(金)
「非平衡統計力学」というノートを書き始める。 Summer school 数理物理'01 の予稿を部分的に兼ねるつもり。
数値実験。境界付近で変なのだが、そこは目をつぶって、虚心に結果をみると、 SSTと矛盾するよなぁ。(やる前から予期していたので驚かない。) 境界あたり のことをどこまで拘るか、というのも考えつつ、SSTとの矛盾についてどう考 えるか、ここからが本当の勝負だな。
８／２(木)
ふむ、低温にすればSST効果は大きくなる。しかし、低温にすれば統計量の収束 に時間がかかる。待つのは嫌だが仕方ない。待っている間に、 Summer School 数理物理'01 の準備でもしようと思ったが、落ち着かない。 ８月中旬に要旨をだすように、という要請がきているのだが。 一番難しい導入部分は後回しにして、どんどん書いていくか。。(明日から。)
８／１(水)
ばね分子ずり系における「SST等式」の検証をめざした数値実験。プログラムを 書く時間も、bugとりの時間も、計算機が計算する時間も、長くなってきた。
ううむ。バグはとりきった(と思う)が、アイデアが死んでいるのかなぁ。不安に なったので、２３時を過ぎてから、刹那的に改訂versionを次々と考え たが、プログラムを書くには眠いので、一旦寝ることにする。
次の日の朝、５時半。寝る前に思い付いたversionは全部没にする。おたおたし てはいけないので、落ち着いて自分が考えていることを整理する。と、、、結局、 昨日のデザインに戻ってしまった。とりあえず、数値精度をもう少しあげてみよう。