３／２７ (木)
トラペ書き＠仙台。終了。
３／２５の宿題はなぞのまま。
３／２６ (水)
Ojimaさんの集中セミナー： 局所非平衡状態の特徴づけ。(Sasa-Tasaki の) Ψ がない局所非平衡状態では、定常状態ですらかりとれないと思っているので、 そういう観点からのコメントを連発していた。なんか微妙ににたような気分の 部分もあるのだが、形式論に対応するモデルでのチェックが自由場でしか できないので、具体的な理解ができないのがつらいところだ。
さすがに睡眠不足が蓄積してきて、ばててきた。
３／２５ (火)
境界駆動非平衡定常系の揺らぎ： どたんばでの林さんの結果をうけて、 シナリオ変更。系全体で平均した密度の揺らぎの局所平衡からのずれを、 (第２法則の拡張からくる)とある関係式で定量的に捉える。数値的な範囲ではあるが、 インパクトのある結果になった。算数的な理解は仙台で頑張る。
自分の学会発表 (ハミルトン系による熱流浸透圧の数値実験)は、 一発芸のようなプレゼンにしかならないが、仕方ない。 現象の理解に対して色々な可能性はあろうが、そこをしぼりこむのはまだまだ遠い。
教職員の歓送迎会。
３／２４ (月)
局所非平衡状態の特徴づけを目指す、という野心的なことが要約にあったOjima さんの集中セミナーにでる。今日は (operator) algebraic approach の復習で 水曜日が本番。
３／２３ (日)
昨日の考えを具体化すべく計算する。。。謎おおし。
３／２２ (土)
化学ポテンシャル差で駆動される非平衡格子気体(全粒子密度保存版) というクラス のモデルを考え始める。人工的に過ぎるかと思ったが、そうでもない。
３／２１ (金)
この２週間あまりの格闘は終りを迎えつつある。高温極限でベタな計算をすると たしかにキャンセルすべきものはキャンセルしそう。が、ベタな計算を有限温度 の場合に拡張できるわけもなく、いまのところ理由づけができないので、有限温度 の場合には有用な表現はないと(とりあえず)すべきであろう。ただし、 その場合でも、小さい揺らぎに限定すればいけそうなので、例えば、系全体の 平均粒子数の揺らぎの分散とかの議論なら(きっと)使えるだろう。どの程度 使えるのか、４月に数値検証をしてみよう。ひょっとしたら示せなかった式が 成り立っているかもしれないし。
いずれにせよ、この計算は技術的なもので、物理の理解を深めるものではない。 状態関数と揺らぎのポテンシャルの関係の探索という動機にもどって再考しよう。
気がつけばもうすぐ４月か。４月からはじまるカオスの講義の準備は新年早々に １日しただけで何もできていない。ちょっとあせりはじめているが、今月は何も できない。結局、同時進行で苦しくやるか。。。ええと他にもすべきことがたくさん あったような気がする。
３／２０ (木)
どう考えても理不尽なことが堂々とおこなわれ、誰も(どの組織も)この暴走を とめれなかった。
nano-fluid 系の界面について大槻君と話しをする。Granickの実験がでる前に 本来数値実験があってしかるべきだったし、理論的考察も可能な重要な課題の ひとつだと思う。
ノートは停止したまま。うーぬ。何か勘違いをしているか、大きな計算違いを しているか、大事な何かが見えてないか....。
３／１９ (水)
あとひとつ示さないといけないと思っていた等式は(高温極限でも)面倒なままで 呆然としたまますごす。
揺らぎをきめるポテンシャルと定常状態のシャノンの式が限りなく似ているので、 両者の関係をみつけようと手を動かすが、簡単でないことを認識しただけ。
武末さんらの論文をよむ。綺麗に解いているだけでなく結果も非自明なので あれこれ考える。
３／１８ (火)
昨日の問題は昼過ぎに解決したが、あとひとつ示さないといけないことが 残っている。これは、うまくしないと、(絶対になりたっている)高温極限 でも途方もなく非自明にみえる。
３／１７ (月)
土曜に書いたノートをうちだして読む。うーむ、だめだ。こうおけばOKとかって に思っているだけで、明示的にしめしていない部分があった。ええと... 頭がごちゃごちゃしたまま時間ぎれで、KISS 歓送迎会。
３／１６ (日)
明日宿舎の畳がえなので、そのための大掃除。
夕食後、昨日の改訂版で生じたサブルーチンを書く。あれれ、結構面倒なプログラム だな。さらにいくつかのサブルーチンを用意しないといけない。完成せず。
３／１５ (土)
昨夜おそくになって発覚したエラーに顔面真っ青状態で立ち向かう。場の自由度の 分布関数が1次元PDEで求まるというのは大変な縮約なわけで、普通に考えればあり えないような話しで、単純なミスをしている可能性は高いかもしれない。
今日も何度か「つぶれた！」と天井を仰いだが、そのたびに別の道をさがし、 なんとかもちなおし、ノートにひととおり書いた。結果、揺らぎの計算には、 もうひとつあらたにサブルーチンがいるようだが、ループの下で使われないので、 計算時間はほとんどかわらないはず。しかし、高温極限以外の例題を計算して おかないと、まだ見落としがあるかもしれない。さらには格子気体系の直接計算 と比較して信頼度をたかめとかないといけない。[ちなみに、DLS型変分原理の 十分条件の結果は前のと同じだった。]
久々に脳味噌の限界までつかった長時間作業をやった気がする。
３／１４ (金)
朝の電車：最近登場している謎の場φはDerrida-Lebowitz-Speer の厳密解で でてきた補助場の考えと Oono-Paniconiの引き算の考えを合体させたようなもので ともかく綺麗になるが、意味はわからない。うーん。そういえば詳細つりあいを SUSYでかく古い形式論があった。深い意味はないが、そこそこ綺麗だったことを 思いだし、詳細つりあいの破れを SUSY breaking で書いたときの場とφが対応 したりしないのかな....。 大学につくと、うまいことファイル箱の中から論文 がでてきて眺めると、たしかに似ているなぁ。だけど、その論文、 詳細つりあい(SUSY)が破れたときにこれでは閉じていないぜよ。
浸透圧以外の各種物理量の７２０粒子版の結果がでていた。バルク圧力に比べて 浸透圧は１／１００以下だから、圧力とびをみるのは困難なはずだ。ましてや 期待される密度とびなんて論外。境界付近でまがっているし。温度のとびは... ない、ということにしておこう。こういうのをするのは event driven で希薄領域 でやるのがいちばんいいのだろう。来年度は磯部さんを説得にでかけるかな。
1次元fluctuating hydrodynamics のノート：スケーリングにまだ混乱があったが、 これで解消したはず。contraction principle の説明も書いた。厳密なことに こだわらなければlarge deviation はたしかに便利である。(８０年代中旬にカオスや フラクタルで妙にはやった。) 計算間違いが恐いので、３回目の計算を丁寧にする。 [やべぇー。やべぇー。計算まちがいではないが、見落としがあった。混乱して 収拾がつかない。寝て明日クリアーな頭で考えよう。26:40]
昨夜、布団でやった化学ポテンシャルに共役な量の計算は、特殊関数が必要になる ところまでいって放りなげた。
粒子浴境界のルールのプログラムを発掘しようとしたがみつからなかった。 結局、日記をつかって月日をみつけ、それを鍵にdirectory をさがしあてた。
３／１３ (木)
熱流誘起浸透圧の数値実験：trapping したときの浸透圧測定がおわっている。 符合は(Sasa-Tasaki と)あっているが、"local steady state" というには 温度勾配がきついかな。諸量を測りはじめることにしたが、久しぶりなので、 手がばしばし動かない。３０００粒子にした段階でスローペースは覚悟の上。
状態関数とゆらぎのポテンシャルが直結しないのは、外から操作できる力(＝化学 ポテンシャル差)に「共役」な量が素朴な測定量でなく、平均密度のように素朴に測 れる量に「共役」な力が素朴な力でないことによる。境界のふたつの化学ポテン シャルに共役な量(ふたつある)は明示的に計算できるはずで、やっておこうと思っ ているがまだできていない。ひとつはカレントに近く、もうひとつは平均密度に近いと 予想しているが、どうであろうか。もし、これらの量が簡単になるなら、大事な 変数になるのであろう。
３／１２ (水)
昨日やったことをノートに書く。昨日のうちに具体例で正しい値をだしていることは 確認しているのだから、問題設定と論旨の整理だけですぐにおわるつもりだったのが、 前回のノートの設定で$\epsilon$の解釈(物理へのわりあて)が間違っていたせいで、 酷く混乱し、そこを固定するのに時間を要した。 [こういう間違いはかなり 恥ずかしい。]
そこで時間をくったせいか、数学的に扱うのは酷く難しいが、物理的には自然に 期待できる contraction principle (CP) の物理的説明の下書きで集中力が きれてきた。(今の文脈でのCP の説明をどうすればわかりやすいか悩み始めて 手がとまった、というのもある。)
昨日の揺らぎの公式も、large deviation people には自明な処方しか使っていない ので、それ自体は 全然 exciting なものではない。(技術的には adjoint hydro が一般にODEで求まる、という先週の知見でつきている。) さぁてと、 揺らぎを制御する状態関数があって、(一般には)時空積分でかける重率が 空間積分だけでかけて、その空間積分はその状態関数とかかわる.. という-- 熱力学が揺らぎも輸送も全て支配している可能性を追求しながら寝よう。
３／１１ (火)
密度揺らぎのシャノンを詳しくみる。まず、非平衡のときは示量的でないことを確認 する。まぁ、当然か。(平衡は示量的。) 使えない。示量的な部分をとりだすのか？ などど悩みまくって....
結論：境界の化学ポテンシャル差で駆動される1次元密度場のfluctuating hydrodynamics に対して、系全体の平均密度を考える。 モデルのパラメータ(拡散係数、カレントノイズの強さ)に対して この揺らぎを計算する閉じた公式がある。早速、プログラムを書く。 高温極限で知られている拡散係数、カレントノイズの強さを入力すると１分 以内の計算で既知の揺らぎの値をはじきだす。系のサイズが小さいときは局所平衡 からきまる値をとり、系の大きくしていくにつれて非局所性の効果が効いて真の値 に近付くのが綺麗にみえる。
実はこの公式は、既にもっていたシャノンを計算する公式とほとんど同じである。 (だから２、３時間でかけた。) ある種のエントロピーを計算することになるのだが、 この量はきちんと示量的になっている。シャノンが実用的に使えない感じも納得 できたし、平均密度を変数とする状態関数でその揺らぎを決めるものはない、 という NO GOtheorem 的な気分もわかった。揺らぎを決める状態関数 は(あったとしても)localでしかない。
３／１０ (月)
昨夜の数値計算がおかしかったのは簡単なバグにすぎず、夕方にはfluctuating hydrodyamics での密度揺らぎのシャノンエントロピー(の相対値)が計算できる ようになった。計算時間は無視できる程度。結構なことだが、この量の意味は全然 わからない。よく考えると(考えなくてもだが)、揺らぎは空間的に不均一だし 長距離相関はあるし、状態量には違いないが、何かの情報を担える代物ではあるまい。
密度場のシャノンはさっさとあきらめるが、「密度揺らぎに対応する力」が簡単に 計算できる ようになったのだから、空間的に局所的な情報をそこから取り出せる可能性を探索す る。大学で喋っているときはいけそうにも思ったが、電車の中で再考すると苦しい かなぁ。いまから落ち着いて紙にかく。
３／９ (日)
fluctuating hydrodynamics における DLS変分原理のノート(ver.1)はもうすぐ 完成だが、それを導く条件は一般的な気がしないのでだんだん冷めてきた。 しかし、たとえ分布が変分原理でかけなくても、fluctuating hydrodynamics の密度揺らぎのシャノンエントロピーがある１次元 non-local PDEからきまる、 というのは(理論物理の精度で)正しいので、こっちの結果の方が重要な 気がしてきた。この数値構成をやっつけようと夕食後にとりくむが、 ありゃありゃ。non-local な部分の数値処理はやはり単純でない。 緩和法ではだめだな。。適当な展開を使うか....うーむ。
シャノンが計算できて何が嬉しいのか... というのはあるのだが、定常状態に 拡張された第２法則はみたすし、素朴に予想していることもあるので、とりあえず つくってみよう路線。(場の自由度のシャノンなどまともには数値計算できないから 誰もみたことないしな。)
３／８ (土)
粘菌の話しをききに大学にいく。ひとつの細胞がわずかの濃度揺らぎをどのように 検知して細胞内部で拡大して運動に転換するか、ということを分子レベルから探索 する上田さんの話しは、ここ最近は毎年１回づつの３回目になるが、面白いし堅実 で意外性もある実験結果も増えてきていている。休日にでかけた甲斐があった。 理論的に大きくなる可能性もある典型的な現象のひとつだと思うけどなぁ。
３／７ (金)
flucutuating hydrodynamics から DLS変分原理のノート書き。Bertini et al が Hamilton-Jacobi でやったことを、最短コースで構成しなおすのと同じだな。 かなりshape up できたつもり。(確率過程に対する Hamilton-Jacobi にしても adjoint dynamics にしても古い手法だから、道具に新しさがあるわけではない。 adjoint dynamics --> 揺らぎのポテンシャル という通常の逆にもいける、 ということを僕が具体的に認識したのはおとといだけど。) DLS的な変分原理で かける十分条件を明示的に求めているのが今回のノートの新しい点であるが、 Hamilton-Jacobi でもたぶんいけるだろうから、誰かがやっていてもおかしくない。 [Hamilton-Jacobiでちょっとやってみると異常に面倒だった。答えを知らないと できない感じはするが..]
いずれにせよ２、３日中にノートはできるだろう。さてと、DLS変分原理を 導く条件の数値検証のプランを寝ながら具体化しよう。それはそうと、ずっと 走っているはずの平行温度板はどうなっているだろう。昨日の段階では定性的にOK そうなデータをだしていたが、今日はのぞいていない。
３／６ (木)
KISS前半: ２１種類のアミノ酸から生体構成要素のたんぱくをつくる大腸菌を 遺伝子工学的な技を駆使してつくってしまった、という話の古沢氏による明快な解説。 この新型大腸菌、ちゃんと生きて増えつつづけているらしい。いくばくかの研究の 歴史を経て、最近、決定版の論文がでて、新聞等でも大きくとりあげられていた らしいが、僕は今日まで知らなかった。誰もがわかる形で、いままでにない生物を つくってしまった、ということだから、完全に理解できたわけではないが、凄まじい 結果のような気がする。
昨日の結果について「論旨の流れ」を院生にはなす。揺らぎの生成の典型的な 時間発展を時間反転したもの(= adjoint hydrodynamics)の構成が形式的すぎるので、 もうちょっとわかりやすい説明を考えよう。計算をもう一度チェックをするが、 今日のところは間違いはなさそうだ。先走りかもしれないが、揺らぎのポテンシャル がDLS的変分原理でかける条件としてもとまった「拡散係数とノイズ強度の関係」を 検証・反証する数値実験を考えはじめる。
３／５ (水)
昼過ぎに昨日の練習問題１を突破したあとは、トントン拍子で話しがすすんだ。
結果：化学ポテンシャル差で駆動される１次元格子気体のfluctuating hydrodynamics を考える。ただし、(密度依存の)拡散係数とnoise intensity をモデルのパラメータ とする。このとき、adjoint dynamicsの標準形への変換を変分方程式とする変分関数 が存在し、定常状態での密度揺らぎに関する共役な力が満たす微分方程式がもとまる。 (* ちなみに、力はちゃんと「ひきざんの形」になっている。) さらに、 その変分関数の極値が密度揺らぎのポテンシャルと一致する条件を書き下すことが でき、その条件がなりたつモデル(＝無限にある)では、密度揺らぎのポテンシャル をDLS風の変分原理の表現でかける。勿論, simple exclusion process に対するDLS解はその一例になっている。
DLS解でOKなことはたしかめながらやっていたが、清書しないとバグが あるかもしれない。物理的には、「変分関数の極値が密度揺らぎのポテンシャル と一致する条件」に意味があるかどうかをみきわめることが大事なので、 もうちょっと追求する。そこに物理があれば、DLS解の変分原理表現 は物理として一般的に拡張できると考えるべきだろうし、逆に、その条件を反例 とする物理的な例がつくれるなら、変分原理表現は特殊例とみなすべきかもしれない。
Oono-Paniconi/Hatano-Sasa 流のエントロピー構成で(系全体とかの)大きなスケール の揺らぎをどこまで記述できるか、というのがそもそもの問題設定で、DLSを例題に して林さんが学会までにつめるはずだが、今日の結果が正しければ、その方法論は DLS解に限定されなくなるので非常によい。ただし、状態量としてのシャノン エントロピーが系全体の揺らぎをきめているかどうかは(今の段階では) 全くわからないけど。
３／４ (火)
問題設定の混乱と(おそらく)計算間違いの両方で不毛な時間が流れる。 ずるずるいくとまずいので、間違いない部分を確定させるべく、あるnon-localな PDEを遠くからみて実効的な拡散方程式をだせ、という問いを練習問題１として 分離する。あれれ？ その問題すら解けない。この解法をつめるなかで 混乱解消の道がみえると思っていたのに、脳味噌が腐っているのかいな。
３０００粒子系のtrapping実験の様子も何だかおかしい。とりあえず長時間 jobを流しっぱなしにしておこう。
ホテルの予約ができなかったので、明日のM氏のセミナーにいかないことにする。
３／３ (月)
Derrida-Lebowitz-Speer (DLS):趣味の問題もあろうが僕は基本的には厳密解に 興味がない。ただし、Onsager のように、科学の位置付けとして、文句のいいようが ないことをやった研究はもちろん別である。DLS の厳密解の(科学としての)位置付け は２年近くたつのにいまだに確定していないが、僕がそれにひかれている のは、そこででてきた変分原理の可能性にである。その変分原理のかたちは 厳密解がでるまで誰も想像すらしてなかった代物であり、もし本当に重要な 物理的意味をもっていたなら、厳密解の構成がなしえた素晴らしいことになるだろう。
fluctuating hydrodynamics の立場では、「stochastic dynamics のadjoint に対して(normal form theory でいう) near identity transformation をほど こすと、その変換を変分方程式とする変分関数が存在し、その変分関数の極値 が揺らぎのポテンシャルをあたえる」ということになっているようだが、 １０年前にこんなフレーズを書いたとすると、専門用語を恰好つけて無意味に並べた jargon だと受け止められただろう。どう考えても一般性がありそうもない。しかし、 この厳密解はSST(Oono-Paniconi version; Hatano-Sasa 構成法)の視点 からみても非常に美しいもので、この美しくなる理由を具体的に追求する 計画をたてる。明日は終日摂動計算の予定。
板にtrapping をかけて浸透圧を計る実験は３０００粒子版をはしらせる。
３／２ (日)
基本的に休養。
板にtrapping potentialをかけたデータの途中経過をみて、trappingの強さを 調整する。いままでにみえている板の運動から、摩擦と浸透圧を等しいとして 見積もった浸透圧は(バルク圧力に比べて)非常に小さく、板のtrapping ではかるのは色々と工夫がいるようだ。[作戦として板の移動を同定させて から定量化にすすんだのは正しかった。]
boundary driven simple exclusion process: 厳密解が恰好よくもとまり すぎているせいで思考がすぐに脱線してしまうが、揺らぎの式として汎用性 のある計算法の可能性を探索する道として２／２８に考えていたことが だんだんくっきりしてきた。今日は休養なので、手を動かさず、 うたたね状態で考えているだが。
３／１ (土)
朝、からだが相当に重かったが、からだに鞭打って大学にいく。
板にtrapping potential をかけて浸透圧を測るプログラムをとばしてから帰宅。 (温度場、密度場、熱流場、圧力場の測定プログラムも 前のを少しいじればすぐにできるはずだが、疲れはてて気力がわかず。)